Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SC\perp (ABCD)$. Biết $CD=a,CB=7a,SC=\sqrt{5}a$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

1. Tại buổi triển lãm, một viên đá quý được trưng bày trên giá đỡ có dạng hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ cân tại $B$ nằm trên mặt bàn và $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên đá quý có hình dạng một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ như hình vẽ. Biết $AB=5cm$, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ }$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông cân.
b) Tính thể tích của viên đá quý.

2. Một tàu vũ trụ đang ở cách mặt phẳng ranh giới giữa hai nửa không gian một khoảng bằng $a$. Phi hành đoàn biết điều đó nhưng không chắc chắn phải đi theo hướng nào để chạm đến ranh giới. Tàu vũ trụ có thể di chuyển trong không gian theo bất kỳ đường đi nào, đồng thời ghi lại độ dài quãng đường đã di chuyển và tàu có thiết bị cảm biến báo hiệu khi đã đến ranh giới. Liệu phi hành đoàn có thể chắc chắn đến được mặt phẳng ranh giới hay không, với điều kiện quãng đường di chuyển không quá $14a$?

(2,0 điểm) Một khối gỗ đặc có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, đồng thời tam giác $SCD$ là tam giác đều. a) Tính độ dài cạnh $AD$ theo $a$. b) Người ta muốn nối một sợi dây nằm trên bề mặt của khối gỗ từ trọng tâm tam giác $SAB$ đến trọng tâm tam giác $SCD$. Tính độ dài ngắn nhất của sợi dây theo $a$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Khoảng cách giữa $AB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB$ và $SD$.

a) Chứng minh $AH\perp (SBC)$.

b) Chứng minh $(SAC)\perp (AHK)$.

c) Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ theo $a$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là hình tam giác vuông cân tại $A$, cạnh $BC=a\sqrt{2}$. Thể tích của khối lăng trụ bằng $\frac{a^3}{2}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SD\perp (ABCD)$. Biết $DA=6a,DC=7a,SD=\sqrt{5}a$. Biết khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SAB)$ có dạng $\frac{6a\sqrt{m}}{n}$ $(m,n\in \mathbb{Z})$. Tìm $2m-n$?