Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SB$ và $SD$.

a) Chứng minh $AH\perp (SBC)$.

b) Chứng minh $(SAC)\perp (AHK)$.

c) Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ theo $a$.

a) Chứng minh $AH\perp (SBC)$:
Ta có $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH$.
Lại có $AH\perp SB$ (theo giả thiết).
Từ hai điều trên, ta kết luận được $AH\perp (SBC)$.

b) Chứng minh $(SAC)\perp (AHK)$:
Chứng minh hoàn toàn tương tự ý a), ta có $CD\perp (SAD)\Rightarrow CD\perp AK$. Lại có $AK\perp SD\Rightarrow AK\perp (SCD)\Rightarrow AK\perp SC$.
Theo ý a), ta đã có $AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp SC$.
Từ hai yếu tố $AK\perp SC$ và $AH\perp SC$, suy ra $SC\perp (AHK)$.
Mặt khác, $SC\subset (SAC)$. Vậy $(SAC)\perp (AHK)$ (đpcm).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$:
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AD,BC$.
Vì $SA\perp AD\Rightarrow SA\perp \Delta$. Mặt khác $AB\perp AD\Rightarrow SB\perp \Delta$ (theo định lý 3 đường vuông góc).
Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(SAD)$ là góc $\widehat{ASB}=45^{\circ }$. Từ đó $\Delta SAB$ vuông cân tại $A\Rightarrow SA=AB=a$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, kẻ $Cx\parallel BD$.
Khoảng cách cần tìm: $d(BD,SC)=d(BD,(S,Cx))=d(O,(S,Cx))$ (với $O$ là tâm đáy). Do $O$ là trung điểm $AC$ nên $d(O,(S,Cx))=\frac{1}{2}d(A,(S,Cx))$.
Kẻ $AE\perp BD$. Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$: $AE=\frac{AB\cdot AD}{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}=\frac{a\cdot 2a}{\sqrt{a^2+4a^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.
Kẻ $AF\perp Cx$ tại $F$. Do $BD\parallel Cx$ nên $AF=2AE=\frac{4a\sqrt{5}}{5}$.
Chiều cao hạ từ $A$ xuống mặt phẳng $(S,Cx)$ là $h$, tính theo hệ thức:
$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{F}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{5}{16a^2}=\frac{21}{16a^2}\Rightarrow h=\frac{4a\sqrt{21}}{21}.$$ Vậy $d(BD,SC)=\frac{1}{2}h=\frac{2a\sqrt{21}}{21}$.