Một chuyển động theo qui luật là $s(t)=-t^3+9t^2+2t$ với $t$ giây là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $S$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu mét?

[Bài toán thực tiễn liên quan đạo hàm] Đoàn tàu Hitachi của tuyến Metro số 1 (tuyến Bến Thành - Suối Tiên) bắt đầu chuyển động thẳng từ ga theo phương trình chuyển động là $S(t)=-t^3+15t^2+60t$ (m) (với thời gian $t$ tính bằng giây) cho tới khi vận tốc của tàu đạt tốc độ tối đa thì tàu chuyển động đều với vận tốc tối đa đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+7t-2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét. Khi đó:

Một tàu vũ trụ đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo phương thẳng đứng bằng cách kích hoạt động cơ hãm tốc. Trong 30 giây đầu tiên kể từ khi kích hoạt động cơ hãm tốc, độ cao $h$ của con tàu so với bề mặt Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm số $h(t)=-0,01t^3+1,1t^2-30t+250$ (với $0\le t\le 30$), trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) và $h$ là độ cao tính bằng kilômét.

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t^3-12t+3$, $t\ge 0$. Tính vận tốc của hạt tại thời điểm $t=8$ giây theo đơn vị m/s.

Một chất điểm chuyển động dọc theo trục Oy, tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi $y=f(t)=t^3-3t$ với $t\in [0;10]$

Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.