Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $30^{\circ }$. Tính số đo góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị độ).

Góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}=30^{\circ }$. Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$:
$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=AC\cdot \tan (30^{\circ })=a\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Kẻ $AO\perp BD$ (tâm $O$), theo định lý ba đường vuông góc ta có $SO\perp BD$. Góc phẳng nhị diện là góc giữa hai nửa mặt phẳng mang bờ $BD$, tức là góc $\widehat{SOC}$.
Tính các cạnh tam giác $SOC$:
$SO=\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}+\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{7}{6}}$.
$SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}+2a^2}=a\sqrt{\frac{8}{3}}$.
$OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Theo định lý cosin: $\cos \widehat{SOC}=\frac{S{O}^2+O{C}^2-S{C}^2}{2\cdot SO\cdot OC}=\frac{\frac{7}{6}+\frac{1}{2}-\frac{8}{3}}{2\sqrt{\frac{7}{6}}\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{-1}{\sqrt{\frac{7}{3}}}=-\sqrt{\frac{3}{7}}$.
Suy ra góc $\widehat{SOC}\approx 130,89^{\circ }$.
Kết quả làm tròn: 131.