Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}=120-\frac{400}{t+5}$. a) $f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người) → Đúng. b) $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=120$ → Đúng. c) $v(t_0)=f^{\prime }(t_0)=\frac{400}{(t_0+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm) → Đúng. d) Với $t\in [0;10]$, $v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm và đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=10$: $v(10)=\frac{400}{225}=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên tốc độ tăng không luôn $\ge 2$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{200}{5}=40$ (nghìn người).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(120-\frac{400}{t+5}\right)=120$ (nghìn người).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$, nên $v(5)=\frac{400}{100}=4$ (nghìn người/năm).
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=\frac{400}{(t+5{)}^2}$ giảm trên $[0;10]$, giá trị nhỏ nhất $v(10)=\frac{16}{9}\approx 1,78<2$, nên không luôn $\ge 2$.