Một người đứng tại điểm $A$ cách gốc cây một khoảng bằng 5m và đo được góc nâng đến đỉnh đỉnh cây là $\alpha$. Khi người đó lùi xa thêm 10m nữa đến điểm $A^{\prime }$, góc nâng lúc này chỉ còn bằng một nửa góc nâng ban đầu $\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Biết giác kế được đặt trên giá đỡ cao 1,2m so với mặt đất. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

Để vận chuyển hàng hóa từ điểm $B$ đến điểm $E$ trong một khu vực đồi núi, do địa hình hiểm trở đường đi hiện tại phải vòng qua núi, qua các điểm $C$ và $D$ với các số liệu như mô hình trong hình vẽ dưới. Một dự án đang xem xét việc xây dựng một tuyến đường hầm nối thẳng trực tiếp $B$ đến $E$ để rút ngắn quãng đường vận chuyển. Hỏi chiều dài đường hầm từ $B$ đến $E$ dài bao nhiêu km (làm tròn đến hàng phần mười)?

Từ vị trí $A$ người ta quan sát một cây cao. Biết $AH=3$ (m), $HB=15$ (m), $\widehat{BAC}=40^{\circ }$ (hình vẽ bên). Hỏi chiều cao BC của cây là bao nhiêu mét? (làm tròn tới phần mười)

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A,B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^0$ và $38^0$. Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi phải vòng qua núi như mô hình ( hình 3). Biết $AB=11km$ ; $BC=10km$ ; $CD=8km$ và $\widehat{ABC}=101^0$ ; $\widehat{BCD}=145^0$. Tính khoảng cách giữa vị trí A và vị trí D (làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị của $\cos A$ là $\frac{m}{n}$ với $m;n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2-2m$.

Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.