Từ vị trí $A$ người ta quan sát một cây cao. Biết $AH=3$ (m), $HB=15$ (m), $\widehat{BAC}=40^{\circ }$ (hình vẽ bên). Hỏi chiều cao BC của cây là bao nhiêu mét? (làm tròn tới phần mười)

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A,B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^0$ và $38^0$. Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi phải vòng qua núi như mô hình ( hình 3). Biết $AB=11km$ ; $BC=10km$ ; $CD=8km$ và $\widehat{ABC}=101^0$ ; $\widehat{BCD}=145^0$. Tính khoảng cách giữa vị trí A và vị trí D (làm tròn đến hàng phần chục).

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị của $\cos A$ là $\frac{m}{n}$ với $m;n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2-2m$.

Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.

Một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng với quãng đường bay thẳng là 720 km (tham khảo hình vẽ). Tuy nhiên, vì lý do thời tiết, phi công điều khiển chuyến bay đã chọn hướng bay lệch so với hướng bay thẳng một góc là $12^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ minh họa tương tự bên dưới). Nếu máy bay duy trì tốc độ trung bình là 800 km/h và sau 18 phút, khi thời tiết ổn định thì phi công nên điều khiển máy bay bay thẳng chéo lên một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ để đến được Đà Nẵng như đã dự tính? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Giả sử $SH=h(m)$ là chiều cao của cây trong đó $H$ là gốc cây và $S$ là ngọn cây. Chọn hai điểm $A,B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A,B,H$ thẳng hàng (như hình vẽ bên dưới). Ta đo được $AB=5m$, $\widehat{SAH}=55^0$; $\widehat{SBH}=35^0$. Tính chiều cao $h$ của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).