Cho tam giác $ABC$ có $AB=c$ , $BC=a$ , $CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác trong $AD$ và $\frac{CM}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị của $\cos A$ là $\frac{m}{n}$ với $m;n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $n^2-2m$.

Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.

Một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng với quãng đường bay thẳng là 720 km (tham khảo hình vẽ). Tuy nhiên, vì lý do thời tiết, phi công điều khiển chuyến bay đã chọn hướng bay lệch so với hướng bay thẳng một góc là $12^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ minh họa tương tự bên dưới). Nếu máy bay duy trì tốc độ trung bình là 800 km/h và sau 18 phút, khi thời tiết ổn định thì phi công nên điều khiển máy bay bay thẳng chéo lên một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ để đến được Đà Nẵng như đã dự tính? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Giả sử $SH=h(m)$ là chiều cao của cây trong đó $H$ là gốc cây và $S$ là ngọn cây. Chọn hai điểm $A,B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A,B,H$ thẳng hàng (như hình vẽ bên dưới). Ta đo được $AB=5m$, $\widehat{SAH}=55^0$; $\widehat{SBH}=35^0$. Tính chiều cao $h$ của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Giả sử $SH=h(m)$ là chiều cao của cây trong đó $H$ là gốc cây và $S$ là ngọn cây. Chọn hai điểm $A,B$ trên mặt đất sao cho ba điểm $A,B,H$ thẳng hàng (như hình vẽ bên dưới). Ta đo được $AB=6m$, $\widehat{SAH}=57^0$; $\widehat{SBH}=35^0$. Tính chiều cao $h$ của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hải đăng Hòn Dấu (Đồ Sơn, Hải Phòng) xây cuối thế kỷ XIX (1892–1898), hoạt động từ 1898, là “con mắt biển” dẫn tàu vào cảng Hải Phòng. Thời kháng chiến chống Mỹ, đèn bị đánh sập năm 1967 nhưng lực lượng trạm đèn vẫn bám trụ, dựng đèn tạm để giữ ánh sáng dẫn đường. Ngày nay, nơi đây là biểu tượng ý chí kiên cường và an toàn hàng hải Việt Nam. Đặt $CD=h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Từ mặt đất nhìn về chân tháp $C$, chọn hai điểm $A,B$ thẳng hàng với $C$, trong đó $B$ nằm xa tháp hơn $A$. Ta đo được $AB=26,84m$, $\widehat{CAD}=60^0$; $\widehat{CBD}=45^0$. Giả sử mặt cắt ngang với chân tháp, bỏ qua độ cao mắt người đo và khúc xạ. Tính chiều cao $h$ của tháp Hải đăng theo đơn vị mét ($K\acute{\hat{e}}tquảl\grave{a}mtr\grave{o}nđ\acute{\hat{e}}nh\grave{a}ngph\grave{\hat{a}}nmười$).

Hải đăng Hòn Dấu (Đồ Sơn, Hải Phòng) xây cuối thế kỷ XIX (1892–1898), hoạt động từ 1898, là “con mắt biển” dẫn tàu vào cảng Hải Phòng. Thời kháng chiến chống Mỹ, đèn bị đánh sập năm 1967 nhưng lực lượng trạm đèn vẫn bám trụ, dựng đèn tạm để giữ ánh sáng dẫn đường. Ngày nay, nơi đây là biểu tượng ý chí kiên cường và an toàn hàng hải Việt Nam. Đặt $CD=h$ là chiều cao của tháp trong đó $C$ là chân tháp. Từ mặt đất nhìn về chân tháp $C$, chọn hai điểm $A,B$ thẳng hàng với $C$, trong đó $B$ nằm xa tháp hơn $A$. Ta đo được $AB=26,84m$, $\widehat{CAD}=60^0$; $\widehat{CBD}=45^0$. Giả sử mặt cắt ngang với chân tháp, bỏ qua độ cao mắt người đo và khúc xạ. Tính chiều cao $h$ của tháp Hải đăng theo đơn vị mét *(Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)*.