Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c(a,b,c\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $f(0)=1$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	1	$+\infty$
$f(x)$	$+\infty$ (giảm dần)	$-1$ (cực tiểu)	(tăng dần) $+\infty$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(f(x)+m)=1$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f$ là parabol bề lõm hướng lên, đạt cực tiểu $-1$ tại $x=1$, nên $f(x)=a(x-1{)}^2-1$ với $a>0$. Kết hợp $f(0)=1$: $a-1=1\Rightarrow a=2$, vậy $f(x)=2(x-1{)}^2-1$.

Ta có $f(t)=1\iff 2(t-1{)}^2-1=1\iff (t-1{)}^2=1\iff t=0$ hoặc $t=2$. Do đó $f(f(x)+m)=1\iff f(x)+m=0$ hoặc $f(x)+m=2$, tức $f(x)=-m$ hoặc $f(x)=2-m$.

Nhắc lại: $f(x)=k$ có 2 nghiệm phân biệt khi $k>-1$; 1 nghiệm (kép $x=1$) khi $k=-1$; vô nghiệm khi $k<-1$. Đặt $k_1=-m$, $k_2=2-m=k_1+2$.

- Nếu $k_1<-1$: phương trình thứ nhất vô nghiệm, cần $k_2>-1\iff k_1>-3$. Vậy $-3<k_1<-1$, nguyên duy nhất $k_1=-2\Rightarrow m=2$: khi đó $f(x)=2$ có 2 nghiệm $x=0,2$ — thỏa.
- $k_1=-3$ ($m=3$): $k_2=-1$ chỉ cho 1 nghiệm — loại.
- $k_1=-1$ ($m=1$): 1 nghiệm kép cộng 2 nghiệm của $f(x)=1$ là 3 nghiệm — loại.
- $k_1>-1$: mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt, hai tập nghiệm rời nhau (vì $k_1\ne k_2$), tổng 4 nghiệm — loại.

Vậy chỉ có $m=2$, tức 1 giá trị nguyên. Đáp án D, khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 31: D).