Cho hàm số $y=x^3+m{x}^2+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường thẳng $d:y=-x+1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;1)$, $B$, $C$ sao cho các tiếp tuyến của $(C_m)$ tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+m{x}^2+1=-x+1\iff x(x^2+mx+1)=0$. Ba giao điểm phân biệt khi $x^2+mx+1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức $m^2>4$. Gọi $x_B,x_C$ là hai nghiệm đó: $x_B+x_C=-m$, $x_B{x}_C=1$.

$y^{\prime }=3x^2+2mx$. Hệ số góc hai tiếp tuyến: $k_B=3x_B^2+2m{x}_B=x_B(3x_B+2m)$, $k_C=x_C(3x_C+2m)$.

$k_B{k}_C=x_B{x}_C(3x_B+2m)(3x_C+2m)=9(x_B{x}_C)+6m(x_B+x_C)+4m^2=9-6m^2+4m^2=9-2m^2$.

Hai tiếp tuyến vuông góc: $k_B{k}_C=-1\iff 9-2m^2=-1\iff m^2=5\iff m=\pm \sqrt{5}$. Thỏa mãn $m^2>4$. Vậy $m=\pm \sqrt{5}$.