Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$. Chứng minh rằng qua điểm $M(-3;1)$ kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị $(C)$ sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình $s(t)=t^2-7t+1$, trong đó $s$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
a) Quãng đường vật đi được sau 12 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là 84,5 m.
b) Gia tốc chuyển động của vật tại thời điểm $t=10$ là $2$ m/s${}^2$.
c) Vận tốc chuyển động của vật tại thời điểm $t=9$ là 11 m/s.
d) Vận tốc nhỏ nhất vật đạt được trong khoảng thời gian từ $t=2$ đến $t=5$ là 3 m/s.

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=-t^3+9t^2+21t+9$ với $t$ tính bằng giây (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ tính bằng mét (m) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó.

Một người lái xe từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ $A$ đến $B$ dài $180km$. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc $60km/h$.

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-2t^2+5t$, trong đó $t>0$, $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=5$ (s).

a) Cho hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=x+2$.

b) Cầu Nhật Tân bắc qua sông Hồng được xem là chiếc cầu dây văng dài nhất Việt Nam năm 2022. Cầu có 5 trụ tháp chính kết nối các nhịp dây văng nâng đỡ toàn bộ phần chính của cây cầu, cũng là đề tượng trưng cho 5 cửa ô kính của Hà Nội. Mỗi trụ tháp được kiến trúc tạo dáng mỹ thuật phía trong bằng đường cong tựa như một parabol.

Giả sử rằng mặt trong của trụ cầu là một Parabol như hình dưới. Biết khoảng cách giữa hai chân trụ bằng 43m. Trên thành trụ cầu, tại vị trí có độ cao 1,87m so với mặt đất (điểm $M$), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với mặt đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân trụ cầu $A$ một đoạn 0,2m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Tính độ dốc của trụ cầu tại điểm $M$ (đơn vị đo độ), (độ dốc tại điểm $M$ được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với thành trụ cầu tại điểm $M$ và phương ngang $AB$ như hình vẽ), kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x-2$ có đồ thị là $(C)$; $M$ là giao điểm của $(C)$ với trục tung. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?