Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có bảng biến thiên sau. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f(x)=2m+1$ có ba nghiệm phân biệt?

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-\infty$

Cho hàm số $y=x^3+m{x}^2+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường thẳng $d:y=-x+1$ tại ba điểm phân biệt $A(0;1)$, $B$, $C$ sao cho các tiếp tuyến của $(C_m)$ tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+m\right)+3=0$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;2]$.

Tìm m để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt.

a) Cho hàm số $y=\frac{m-x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$, với $m$ là tham số và đường thẳng $d:2x+y-1=0$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(C)$ cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng 1, với $O$ là gốc tọa độ.

b) Cho ba số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $(x-z{)}^2+(2y-z{)}^2=3z^2+4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x^3(y-z)+4y^3(x-2z)-z^{3}xy}{xy}$.

Câu 1 (6 điểm):
a. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{4}{2026-x}-\frac{x+4}{\sqrt{x^2-7x+6}}$.
b. Cho hàm số $y=x^2-3x+4$ có đồ thị là $(P)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $y=2x-m$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{A}^2+O{B}^2=57$, với $O$ là gốc tọa độ.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+m\right)=-3$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;2]$.