Cho tam giác $ABC$. Gọi $D$ là điểm xác định bởi hệ thức $5\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$ và $I$ là trung điểm của $AD$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AC}$ với $m$ là số thực. Tìm giá trị của $m$ để ba điểm $B,I,M$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $\overrightarrow{BA}=\vec{a},\overrightarrow{BC}=\vec{c}$. Từ $5\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}$ suy ra $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\vec{c}$. Vì $I$ là trung điểm của $AD$: $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{c}$. Với $M$: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\vec{a}+m(\vec{c}-\vec{a})=(1-m)\vec{a}+m\vec{c}$. Ba điểm $B,I,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BM}$, tức $\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{c}=k(1-m)\vec{a}+km\vec{c}$. So sánh hệ số: $\frac{1}{2}=k(1-m)$ và $\frac{1}{5}=km$. Chia hai đẳng thức: $\frac{m}{1-m}=\frac{1/5}{1/2}=\frac{2}{5}$, suy ra $5m=2-2m\Rightarrow 7m=2\Rightarrow m=\frac{2}{7}$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án chính thức (mã đề 101, câu 34 = B).