Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành $ABCD$. Ba điểm $M,N,I$ lần lượt thuộc ba cạnh $AB,AD,CD$ thỏa mãn $AM=\frac{3}{4}AB,AN=\frac{5}{6}AD,DI=\frac{9}{10}DC$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng $AM,AN$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AI,MQ,NP$ cùng đi qua một điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ (hai vectơ không cùng phương vì $ABCD$ là hình bình hành). Khi đó:
- $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\vec{u}$, tức $M=\frac{3}{4}\vec{u}$.
- $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{6}\vec{v}$, tức $N=\frac{5}{6}\vec{v}$.
- $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DI}=\vec{v}+\frac{9}{10}\overrightarrow{DC}=\frac{9}{10}\vec{u}+\vec{v}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{u}$).
- $P$ trung điểm $AM$: $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{8}\vec{u}$; $Q$ trung điểm $AN$: $\overrightarrow{AQ}=\frac{5}{12}\vec{v}$.

Gọi $G$ là giao điểm của $AI$ và $MQ$. Vì $G\in AI$ nên $\overrightarrow{AG}=t\overrightarrow{AI}=t\left(\frac{9}{10}\vec{u}+\vec{v}\right)$. Vì $G\in MQ$ nên $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+s\overrightarrow{MQ}=\frac{3}{4}\vec{u}+s\left(\frac{5}{12}\vec{v}-\frac{3}{4}\vec{u}\right)$. Do $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương, so sánh hệ số:
$$\frac{9}{10}t=\frac{3}{4}(1-s),t=\frac{5}{12}s.$$
Thế $t=\frac{5}{12}s$ vào phương trình đầu: $\frac{9}{10}\cdot \frac{5}{12}s=\frac{3}{4}(1-s)⟺\frac{3}{8}s=\frac{3}{4}(1-s)⟺s=\frac{2}{3}$, suy ra $t=\frac{5}{18}$.
Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{5}{18}\vec{v}$.

Kiểm tra $G\in NP$: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AN}+r\overrightarrow{NP}=\frac{5}{6}\vec{v}+r\left(\frac{3}{8}\vec{u}-\frac{5}{6}\vec{v}\right)$. So sánh hệ số: $\frac{3}{8}r=\frac{1}{4}\Rightarrow r=\frac{2}{3}$; khi đó hệ số của $\vec{v}$ là $\frac{5}{6}\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{5}{18}$ — khớp đúng.

Vậy $G$ thuộc cả ba đường thẳng $AI$, $MQ$, $NP$, tức ba đường thẳng này đồng quy tại điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{18}\overrightarrow{AD}$. Đpcm.