Câu 8. (2 điểm) Mệnh đề sau đúng hay sai, vì sao?

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt thì $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề ĐÚNG.

Ta có đẳng thức quen thuộc:
$$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2.$$

Vì $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt nên các hiệu $a-b,b-c,c-a$ là các số chẵn khác $0$, do đó mỗi bình phương $(a-b{)}^2,(b-c{)}^2,(c-a{)}^2$ đều $\ge 4$. Suy ra
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 12,$$
tức là $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge \frac{12}{2}=6$, hay $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.

Về dấu bằng: dấu bằng trong ước lượng trên đòi hỏi $(a-b{)}^2=(b-c{)}^2=(c-a{)}^2=4$, tức $|a-b|=|b-c|=|c-a|=2$. Điều này không thể xảy ra vì $a-b+b-c+c-a=0$ trong khi tổng của ba số mỗi số bằng $\pm 2$ không thể bằng $0$ (tổng của ba số lẻ là số lẻ). Thật vậy, với ba số lẻ phân biệt, trong ba hiệu có đúng hai hiệu bằng $\pm 2$ và hiệu còn lại bằng $\pm 4$; chẳng hạn với $a=1,b=3,c=5$:
$$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=4+4+16=24,$$
khi đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=12>6$.

Kết luận: mệnh đề đúng; thực tế bất đẳng thức luôn chặt, tức $a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca+6$, nhưng dạng $\ge$ trong mệnh đề vẫn được thỏa mãn.