Câu 7. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=18x,AC=24x,x>0$. Xác định vị trí của các điểm $M,N$ biết rằng $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=2\left|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}\right|=10x$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét vectơ: gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $AC$. Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}$, nên điều kiện $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=10x$ tương đương với $MI=5x$ và $MJ=5x$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB=18x$, $AC=24x$ nên $BC=\sqrt{(18x{)}^2+(24x{)}^2}=30x$. Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $IJ=\frac{BC}{2}=15x$. Xét tam giác $MIJ$, theo bất đẳng thức tam giác: $MI+MJ\ge IJ⟺5x+5x\ge 15x⟺10x\ge 15x$, vô lý vì $x>0$. Vậy không tồn tại điểm $M$ thỏa mãn $MI=MJ=5x$, suy ra cũng không tồn tại điểm $N$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}\right|=5x$ (vì điều kiện này phụ thuộc vào $M$ đã không tồn tại). Kết luận: không có vị trí nào của các điểm $M,N$ thỏa mãn hệ điều kiện đã cho của đề bài. (Lời giải do AI cung cấp vì đề gốc không có đáp án.)