Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }C{C}^{\prime }$. Chứng minh: a) $(IKG)$ song song với $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. b) Gọi $H$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$, chứng minh $(AHI)\parallel (A^{\prime }KG)$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng phương pháp vectơ. Chọn A làm gốc, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$, $\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì là lăng trụ nên $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3},\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\vec{w}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}+\vec{w},$$
$$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }})=\frac{\vec{v}}{3}+\frac{2\vec{w}}{3}.$$

**a) Chứng minh $(IKG)\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.**

Mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ chứa hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{w}$ và $\overrightarrow{BC}=\vec{v}-\vec{u}$.

Ta có $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}=\vec{w}\parallel \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, suy ra $IK\parallel B{B}^{\prime }$.

Lại có:
$$\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{v}}{3}+\frac{2\vec{w}}{3}-\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}=\frac{1}{3}[(\vec{v}-\vec{u})+2\vec{w}]=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}.$$
Vậy $\overrightarrow{IG}$ là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{IG}$ song song với mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

Mặt khác, điểm $I$ (trọng tâm $△ABC$) không thuộc mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ vì $\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$ không thể biểu diễn qua $\vec{w}$ và $\vec{v}-\vec{u}$ (khi đó hệ số của $\vec{u}$ phải bằng 0, vô lý). Do đó $(IKG)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $IK,IG$ cùng song song với $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, suy ra $(IKG)\parallel (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$. Đpcm.

**b) Chứng minh $(AHI)\parallel (A^{\prime }KG)$.**

$H$ là trung điểm $B{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{u}+\frac{\vec{w}}{2}$.

Mặt phẳng $(AHI)$ đi qua $A$ và chứa hai vectơ không cùng phương:
$$\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3},\overrightarrow{AH}=\vec{u}+\frac{\vec{w}}{2}.$$
Từ đó hiệu hai vectơ này cho:
$$3\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AH}=\vec{v}-\frac{\vec{w}}{2},$$
tức vectơ $\vec{v}-\frac{\vec{w}}{2}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ cũng song song với mặt phẳng $(AHI)$.

Xét mặt phẳng $(A^{\prime }KG)$:
- $\overrightarrow{A^{\prime }K}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}=\overrightarrow{AI}$, suy ra $A^{\prime }K\parallel AI$.
- $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{\vec{v}}{3}+\frac{2\vec{w}}{3}-\vec{w}=\frac{2}{3}\left(\vec{v}-\frac{\vec{w}}{2}\right)$, suy ra $\overrightarrow{A^{\prime }G}$ song song với vectơ $\vec{v}-\frac{\vec{w}}{2}$, mà vectơ này song song với $(AHI)$; do đó $A^{\prime }G\parallel (AHI)$.

Hai đường thẳng cắt nhau $A^{\prime }K,A^{\prime }G$ (không cùng phương vì $\overrightarrow{AI}$ và $\vec{v}-\frac{\vec{w}}{2}$ độc lập tuyến tính) cùng song song với $(AHI)$.

Cuối cùng, $A^{\prime }\notin (AHI)$: giả sử $A^{\prime }\in (AHI)$ thì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}=\alpha (\vec{u}+\vec{v})+\beta \left(\vec{u}+\frac{\vec{w}}{2}\right)$, so sánh hệ số của $\vec{v}$ được $\alpha =0$, của $\vec{w}$ được $\beta =2$, của $\vec{u}$ được $\beta =0$, mâu thuẫn.

Vậy $(A^{\prime }KG)\parallel (AHI)$. Đpcm.