Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Trên các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(AMN)$ cắt $SC$ tại $J$. Tính tỉ số $k=\frac{SJ}{SC}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Trên tia đối của tia $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $D$ sao cho $C{C}^{\prime }=4CD$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }D)$ cắt các đường thẳng $AC$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $I$ và $J$. Tỉ số $\frac{IJ}{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap ($AD//BC$). Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC),(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AD\parallel BC)$. Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA,SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC),(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $(ABCD)/(EFMH)$, $CK/DH$. Khối gỗ bị hỏng một góc. Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(R)$ đi qua $K$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là giao điểm của $DH$, $BF$ với mặt phẳng $(R)$. Biết $BF=60$, $DH=75$, $CK=50$. Tính $FJ$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD=7$ và đáy nhỏ $BC=3$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $AB$ và $CD$. Các điểm $Q$, $R$ được xác định như sau:
- Điểm $Q$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.
- Điểm $R$ là giao điểm của $MN$ với $PQ$.
Khi đó tỉ số $\frac{RM}{RN}=\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $2a+3b$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.



a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $BC\parallel (AFD)$.

b) (0,5 điểm) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Tính $\frac{AN}{NC}$.