Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang $(AD\parallel BC)$. Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA,SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC),(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án nguồn (mã đề 212, câu 19) là $1$, và lời giải độc lập dưới đây cho cùng kết quả.

Chọn hệ vectơ gốc $A$: đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $AD\parallel BC$ nên tồn tại $k>0$ sao cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$. Vì $M$ nằm bên trong hình thang nên $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ với $x>0$, $y>0$ (và $M$ thuộc hình thang).

Đường thẳng qua $M$ song song với $SA$: điểm bất kỳ trên nó có dạng $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}+\lambda \overrightarrow{AS}=\lambda \vec{s}+x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, với $\lambda =\frac{MN}{SA}$ (cùng phương cùng chiều với $\overrightarrow{AS}$).

Mặt phẳng $(SBC)$ gồm các điểm có dạng tổ hợp affine của $S,B,C$: $\alpha \vec{s}+\beta \overrightarrow{e_1}+\gamma (\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2})$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh: $\alpha =\lambda$, hệ số $\overrightarrow{e_2}$ cho $\gamma k=y\Rightarrow \gamma =y/k$, hệ số $\overrightarrow{e_1}$ cho $\beta =x-y/k$. Điều kiện $\alpha +\beta +\gamma =1$ suy ra $\lambda +x=1$, tức $\frac{MN}{SA}=\lambda =1-x$.

Tương tự, đường qua $M$ song song với $SB$: $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\mu (\vec{s}-\overrightarrow{e_1})=\mu \vec{s}+(x-\mu )\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, với $\mu =\frac{MP}{SB}$. Mặt phẳng $(SAD)$ gồm các điểm $\alpha \vec{s}+\gamma \overrightarrow{e_2}$ (không có thành phần $\overrightarrow{e_1}$), nên $x-\mu =0$, tức $\frac{MP}{SB}=\mu =x$.

Vậy $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=(1-x)+x=1$, khớp đáp án nguồn $1$.