Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}& \text{khi }x>3\\ \sqrt{4x^2-cx+9}+dx& \text{khi }x\le 3\end{array}$ liên tục trên tập hợp $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)+{\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\frac{7}{4}$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$). Giá trị của tổng $a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, trước hết xét giới hạn tại vô cực. Với $x\to +\infty$: $\lim f(x)=\lim \frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$. Với $x\to -\infty$, để $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx$ có giới hạn hữu hạn thì $d=2$ (vì $\sqrt{4x^2-cx+9}\sim -2x$ khi $x\to -\infty$). Khi đó khai triển: $\sqrt{4x^2-cx+9}=-2x\sqrt{1-\frac{c}{4x}+\frac{9}{4x^2}}\approx -2x+\frac{c}{4}$, nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{c}{4}$. Điều kiện đề bài: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Liên tục tại $x=3$: nhánh $x>3$ phải có tử số triệt tiêu tại $x=3$: $9+3a+b=0\Rightarrow b=-9-3a$. Giới hạn bên phải: ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\frac{2\cdot 3+a}{2\cdot 3}=\frac{6+a}{6}$ (quy tắc L'Hôpital hoặc rút nhân tử). Giới hạn bên trái: $f(3)=\sqrt{36-3c+9}+3d=\sqrt{45-9}+6=6+6=12$. Suy ra $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$, và $b=-9-3\cdot 66=-207$. Vậy $a+b+c+d=66-207+3+2=-136$, khớp với đáp án $-136$.