Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, và liên tục tại $x=2$ thỏa mãn ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-16}{x-2}=12$. Giới hạn ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-16}{x-2}=12$ tồn tại hữu hạn nên $f(2)=16$ (do $f$ liên tục tại $x=2$). Khi đó $2f(x)-16\to 16$ nên $\sqrt{2f(x)-16}\to 4$.

Nhân tử số với liên hợp:
$$\sqrt{2f(x)-16}-4=\frac{2f(x)-16}{\sqrt{2f(x)-16}+4}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{2f(x)-16}-4}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-16}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x-2)(x+3)}$$
$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{f(x)-16}{x-2}\right)\cdot \frac{2}{\left(\sqrt{2f(x)-16}+4\right)(x+3)}=12\cdot \frac{2}{(4+4)(2+3)}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,6$.