Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD=7$ và đáy nhỏ $BC=3$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $AB$ và $CD$. Các điểm $Q$, $R$ được xác định như sau:
- Điểm $Q$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.
- Điểm $R$ là giao điểm của $MN$ với $PQ$.
Khi đó tỉ số $\frac{RM}{RN}=\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $2a+3b$ bằng bao nhiêu?

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.



a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $BC\parallel (AFD)$.

b) (0,5 điểm) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Tính $\frac{AN}{NC}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, biết đáy lớn $AD=6$, đáy nhỏ $BC=3$. Gọi $E,F$ lần lượt lấy trên $SA$ và $SD$ sao cho $SE=y.SA$, $SF=y.SD$. $K$ là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$. $M$ là giao điểm của đường thẳng $SB$ và mặt phẳng (CDE), đường thẳng $SC$ cắt mặt phẳng (EFM) tại $N$. Tìm $y$ để tỉ số diện tích của hai tam giác $KMN$ và $KEF$ là $\frac{4}{9}$.

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.



a) (0,5 điểm) Chứng minh rằng $AD\parallel (BEC)$.

b) (0,5 điểm) Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $AFE$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(AFD)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(P)$ và $AC$. Tính $\frac{AN}{NC}$

Một bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa dẻo cao 4, có một nắp nhỏ bên trên để bơm nước vào thùng, trong thùng có sẵn 1 lượng nước. Để đo chiều cao mực nước trong thùng người ta làm như sau: lấy 1 cây sào tre dài 5m nhúng vào thùng nước sao cho một đầu chạm đáy và một đầu chạm với mặt trên của bồn nước. Sau khi rút sào tre ra thì đo được phần sào tre bị ướt là 1,5m (tham khảo hình vẽ). Hỏi mực nước trong thùng cao bao nhiêu mét?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A,M$ và song song với $SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$, tính tỉ số $\frac{SN}{SB}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $SA$ sao cho $\frac{SP}{SA}=\frac{2}{3}$. Đường thẳng $SD$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ tại $I$. Tỉ số $\frac{SI}{ID}$ bằng