Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết số hạng đầu $u_1=3$ và công sai $d=7$. Số hạng thứ năm của cấp số cộng bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ là

Cho dãy số $(u_n)$ với công thức số hạng tổng quát là $u_n=\frac{n^2+5}{3n^2+5}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tìm số hạng $u_5$.

Đổi số đo góc $75^{\circ }$ sang đơn vị radian bằng

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{1}{4}$. Giá trị của ${\tan }^2\alpha$ bằng

Hình chóp tứ giác có số mặt là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$, $K$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD$.

Cho hai hàm số $f(x)=3\sin x$ và $g(x)=\sin 3x$.

Xét hai góc lượng giác $\alpha$, $\beta$ thỏa mãn
$$(\sin \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \beta -\cos \alpha {)}^2=1,5.$$
Giá trị $\sin (\alpha +\beta )$ bằng bao nhiêu?

Một sợi dây mềm không dãn được buộc cố định hai đầu vào hai vị trí $A$ và $A^{\prime }$ ở chân một bức tường phẳng thẳng đứng sao cho $A{A}^{\prime }=6$ m. Người ta dùng sợi dây này để giữ một cái cối có dạng hình tròn với bán kính bằng 2 m. Khi cái cối được đẩy ra xa bức tường đến mức tối đa, sợi dây ôm sát một phần của cối và căng đều về hai phía như hình vẽ (hình vẽ thể hiện góc nhìn từ trên xuống). Biết rằng khi đó tâm của cái cối cách bức tường một khoảng bằng 4 m. Hỏi chiều dài $l$ của sợi dây là bao nhiêu mét? (không làm tròn các bước tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)


Hình 1: Sợi dây ở trạng thái ban đầu. Hình 2: Trạng thái khi cái cối được đẩy căng tối đa.

Một nhà hàng tổ chức tiệc chuẩn bị đón một đoàn khách gồm 70 người. Nhà hàng sử dụng các bàn ăn hình vuông có cùng kích thước, mỗi cạnh của một bàn chỉ xếp được đúng 1 chiếc ghế dành cho 1 người ngồi (tức là mỗi bàn đơn ngồi được tối đa 4 người). Để phục vụ cho đoàn khách muốn ngồi quây quần cùng nhau trên một dãy bàn dài, nhân viên phục vụ tiến hành ghép các bàn vuông nối tiếp nhau theo một hàng ngang cạnh sát cạnh. Khi ghép như vậy, cạnh tiếp xúc giữa hai bàn kề nhau sẽ không xếp ghế, cụ thể như sau:
- Nếu chỉ dùng 1 bàn đơn thì bố trí được 4 chỗ ngồi.
- Khi ghép 2 bàn lại với nhau thì bố trí được 6 chỗ ngồi.
- Khi ghép 3 bàn lại với nhau thì bố trí được 8 chỗ ngồi.
- Quy luật trên tiếp tục được áp dụng khi ghép thêm các bàn tiếp theo.

Trường hợp 1: 1 bàn đơn. Trường hợp 2: 2 bàn ghép. Trường hợp 3: 3 bàn ghép.
Hỏi để xếp đủ chỗ ngồi cho tất cả 70 người trên cùng một dãy bàn ghép như vậy thì nhà hàng cần ghép tất cả bao nhiêu chiếc bàn vuông?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD=7$ và đáy nhỏ $BC=3$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $AB$ và $CD$. Các điểm $Q$, $R$ được xác định như sau:
- Điểm $Q$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.
- Điểm $R$ là giao điểm của $MN$ với $PQ$.
Khi đó tỉ số $\frac{RM}{RN}=\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $2a+3b$ bằng bao nhiêu?

Giải phương trình lượng giác sau: $2{\sin }^{2}x-1+\cos \left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=0$.

Xét dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức $u_n=\frac{a{n}^2+b}{n+1}$ $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ với $a$, $b$ là các số thực. Biết rằng $u_1=8$ và $u_3=10$. Khi đó giá trị $u_{15}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $G$ là trọng tâm của tam giác $SBM$.
a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: $(SOM)$ và $(SBC)$, $(CGM)$ và $(SBC)$.
b) Chứng minh rằng đường thẳng $MG$ song song với đường thẳng $SA$.