Cho lăng trụ tam giác $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $I$ và $I^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $I$, $I^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

a) Vì $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ nên tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành. Do $I,I^{\prime }$ là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $I{I}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$. Mà $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, suy ra $I{I}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Ta có $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel I{I}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=I{I}^{\prime }$, nên tứ giác $A{A}^{\prime }{I}^{\prime }I$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó là hình bình hành. Mệnh đề ĐÚNG.

c) Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$, khi đó $I(0,5;0,5;0)$, $I^{\prime }(0,5;0,5;1)$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có phương trình $-x-y+z=0$. Điểm trên đường thẳng $A^{\prime }I$: $A^{\prime }+t(0,5;0,5;-1)$, thay vào mặt phẳng: $-0,5t-0,5t+1-t=1-2t=0\Rightarrow t=0,5$, tức $A^{\prime }I$ cắt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại điểm $(0,25;0,25;0,5)$. Vậy $I{A}^{\prime }$ KHÔNG song song với $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Mệnh đề SAI.

d) Hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ đều chứa điểm $C^{\prime }$ nên giao tuyến đi qua $C^{\prime }$. Đường thẳng $A{I}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $A^{\prime }I\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$ cắt nhau: theo tính toán trên, $A^{\prime }I$ cắt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại $(0,25;0,25;0,5)$, và điểm này chính là trung điểm của $A{I}^{\prime }$ (với $A(0;0;0)$, $I^{\prime }(0,5;0,5;1)$), tức là giao điểm $P$ của $A{I}^{\prime }$ và $A^{\prime }I$. Điểm $P$ thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến của $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ là đường thẳng đi qua $P$ (và $C^{\prime }$). Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành nên $I{I}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. ĐÚNG.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A{A}^{\prime }\parallel I{I}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=I{I}^{\prime }$ nên $A{A}^{\prime }{I}^{\prime }I$ là hình bình hành. ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(0;1;1)$, $I(0,5;0,5;0)$, mặt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $-x-y+z=0$; đường $A^{\prime }I$ cắt mặt này tại $(0,25;0,25;0,5)$, nên $I{A}^{\prime }$ không song song $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng cùng chứa $C^{\prime }$; $A{I}^{\prime }$ và $A^{\prime }I$ cắt nhau tại $P(0,25;0,25;0,5)$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến đi qua giao điểm này (và qua $C^{\prime }$). ĐÚNG.