Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy $AD$ và $BC$. Gọi $M$ là trọng tâm tam giác $SAD$, $N$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $NA=\frac{NC}{2}$, $P$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $PD=\frac{PC}{2}$. Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $D=(2;0;0)$, $B=(0,5;2;0)$, $C=(1,5;2;0)$ (hình thang với $AD\parallel BC$), $S=(0;0;3)$.

- $M$ là trọng tâm $△SAD$: $M=\left(\frac{S+D}{3}\right)=\left(\frac{2}{3};0;1\right)$.
- $NA=\frac{NC}{2}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$, nên $N=A+\frac{1}{3}(C-A)=\left(0,5;\frac{2}{3};0\right)$.
- $PD=\frac{PC}{2}\Rightarrow \frac{DP}{DC}=\frac{1}{3}$, nên $P=D+\frac{1}{3}(C-D)=\left(\frac{11}{6};\frac{2}{3};0\right)$.

Mặt phẳng $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-0,5;-2;3)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(0;-3;-2)$, phương trình $3y+2z=6$.

- $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MN}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MN\parallel (SBC)$; vì $M$ có $3\cdot 0+2\cdot 1=2\ne 6$ nên $M\notin (SBC)$.
- $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{7}{6};\frac{2}{3};-1\right)$: $\overrightarrow{MP}\cdot \vec{n}=-2+2=0$ nên $MP\parallel (SBC)$.

Vậy $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MP$ cùng song song với $(SBC)$, và $M\notin (SBC)$, suy ra $(MNP)\parallel (SBC)$.

Xét các phương án:
- A sai: hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến.
- B sai: $MN\parallel (SBC)$.
- C sai: $(MNP)$ không thể song song $(SAD)$ vì $M\in (SAD)$ mà $N,P\notin (SAD)$ (nếu song song thì $(MNP)$ phải trùng $(SAD)$, vô lý).
- D đúng: $MN\parallel (SBC)$ và $(MNP)\parallel (SBC)$.