Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap ($AD//BC$). Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC),(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song $SA$ cắt $(SBC)$ tại $N$. Vì đường thẳng qua $M$ song song $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $N$ thuộc giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$, tức $N$ nằm trên đường thẳng $SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $MN//SA$ nên theo định lý Thales: $\frac{MN}{SA}=\frac{BN}{BS}$ (đặt $k_1=\frac{BN}{BS}$). Tương tự, đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cắt $(SAD)$ tại $P$; vì đường này nằm trong mặt phẳng $(SBA)$ nên $P$ thuộc giao tuyến của $(SBA)$ và $(SAD)$, tức $P$ nằm trên $SA$, và $\frac{MP}{SB}=\frac{AP}{AS}$ (đặt $k_2=\frac{AP}{AS}$). Gọi $I$ là giao điểm của $SM$ với $AB$ (M bên trong hình thang nên $I$ nằm trên đoạn $AB$). Trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $M$ song song $SA$ cho $\frac{BN}{BS}=\frac{BI}{BA}$; đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cho $\frac{AP}{AS}=\frac{AI}{AB}$. Vì $I$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Vậy $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 21, Mã đề 211: 1).