Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 THPT Cầu Giấy 2025-2026

Câu 1. (2 điểm) Tìm tập hợp các số thực $m$ thỏa mãn $[m-1;m+8]\cap [4;5]\ne \varnothing$.

Câu 2. (4 điểm) Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $$\{\begin{array}{l}-x+y<3\\ 3x+2y<6\\ x-2y<2\\ x+3y>-3\end{array}$$

Câu 3. (2 điểm) Cho $f(x)=x^2-2(m+1012)x+m^2-2024m-2025$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ thỏa mãn $f(x)\ge 0\forall x\in [2025;2026]$.

Câu 4. (2 điểm) Cho hình thang $ABCD$ với hai đáy là $AD,BC$. Chứng minh rằng $$\cot BAC-\cot BDC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-D{B}^2-D{C}^2}{4S}$$ với $S$ là diện tích của tam giác $ABC$.

Câu 5. (2 điểm) Cho hình bình hành $ABCD$. Ba điểm $M,N,I$ lần lượt thuộc ba cạnh $AB,AD,CD$ thỏa mãn $AM=\frac{3}{4}AB,AN=\frac{5}{6}AD,DI=\frac{9}{10}DC$. Gọi $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng $AM,AN$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AI,MQ,NP$ cùng đi qua một điểm.

Câu 6. (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $AB$. Xác định vị trí của điểm $M$ sao cho vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ có độ dài nhỏ nhất.

Câu 7. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=18x,AC=24x,x>0$. Xác định vị trí của các điểm $M,N$ biết rằng $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=2\left|\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}\right|=10x$.

Câu 8. (2 điểm) Mệnh đề sau đúng hay sai, vì sao?

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên lẻ phân biệt thì $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca+6$.