Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Hình sau minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần của cung parbol trong mặt phẳng tọa độ $Oth$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên và $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ mặt đất. Biết rằng tại thời điểm 2s, quả bóng đó lên đến vị trí cao nhất là 8 m rồi bắt đầu rơi xuống. Hỏi ở giây thứ bao nhiêu thì độ cao của quả bóng khi rơi xuống bằng $6m$?

Một trò chơi điện tử được thiết kế trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Một nhân vật Mario sẽ xuất phát từ gốc tọa độ $O$ và với đặc trưng $m$ là một số nguyên dương, nhân vật này sẽ thực hiện các bước nhảy có dạng parabol (xuất phát và tiếp đất tại các vị trí trên chiều dương của trục hoành), có khoảng cách từ điểm nhảy đến điểm tiếp đất cùng bằng $m$, ngoài ra độ cao các đỉnh parabol là không đổi và Mario có thể tùy chọn giá trị đặc trưng này. Bên dưới là hình minh họa với $m=3$.



Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho Mario ăn được quả táo tại điểm có tọa độ $(30;4)$ tại lượt nhảy thứ 5; đồng thời ứng với $m$ tìm được, viết phương trình quỹ đạo chuyển động của Mario trong lượt nhảy đầu tiên.

Một quả bóng cầu thủ sút lên rồi rơi xuống theo quỹ đạo là parabol. Biết rằng ban đầu quả bóng được sút lên từ độ cao 1 m sau đó 1 giây nó đạt độ cao 10 m và 3,5 giây nó ở độ cao 6,25 m. Hỏi độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m. Trên thành cổng tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Tính chiều cao của cổng Arch.

Một công viên hình tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=40m$, $AC=20m$ và cạnh $BC$ tiếp giáp với đường nội ô. Trong công viên người ta xây dựng một vườn hoa được giới hạn bởi đường parabol và hai cạnh $AB$, $AC$ của công viên, biết parabol có đỉnh là trung điểm của $AB$ và đi qua trung điểm của $AC$ (như hình vẽ). Người ta muốn mở một con đường nhỏ rẽ từ đường nội ô đến vườn hoa, phục vụ cho việc chăm sóc hoa. Để tiết kiệm chi phí, người ta muốn mở con đường nói trên có chiều dài ngắn nhất. Hãy tính chiều dài con đường ngắn nhất đó.

Một cái cổng có hình dạng parabol như hình vẽ. Biết chiều cao $GH=4m$, chiều rộng $AB=6m$, $AC=BD=1m$. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm giá là 990 000 đồng/m², còn các phần để trống làm xiên hoa có giá là 810 000 đồng/m². Biết tổng diện tích của hai cánh cổng và phần làm xiên hoa là $16m^2$. Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên là bao nhiêu đồng?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 2000 bộ máy tính mỗi quý, (một năm gồm 4 quý, mỗi quý gồm 3 tháng) với giá bán ra thị trường là 17 triệu đồng một bộ. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 700 000 đồng, số lượng bộ máy tính bán ra sẽ tăng thêm 140 bộ mỗi quý. Hỏi nhà sản xuất nên đặt giá bán ra thị trường cho mỗi bộ máy tính là bao nhiêu triệu đồng để số tiền thu về trong quý là lớn nhất?