Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Trường Toán 11 Sở GD&ĐT Nghệ An 2025-2026 - Đề Số 1

Cho hình bình hành $ABCD$. Qua các đỉnh $A,B,C,D$ lần lượt vẽ các nửa đường thẳng song song $Ax,By,Cz,Dt$ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng $ABCD$ và không nằm trong mặt phẳng đó. Một mặt phẳng $(\alpha )$ cắt các nửa đường thẳng trên lần lượt tại các điểm $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng độ dài các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }=8$, $B{B}^{\prime }=12$, $D{D}^{\prime }=6$. Tính độ dài đoạn thẳng $C{C}^{\prime }$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2-x& \text{neˆˊu }x<1\\ 3& \text{neˆˊu }x=1\\ x^2-x+3& \text{neˆˊu }x>1\end{array}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho $a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn ${\log }_4\left(\frac{a^2}{b^4}\right)=1$. Chọn mệnh đề đúng.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $SM=2MA$ (tham khảo hình vẽ). Mặt phẳng $(CDM)$ cắt cạnh $SB$ tại $N$. Tỉ số $\frac{SN}{SB}$ bằng

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Một người đứng tại điểm $A$ cách gốc cây một khoảng bằng 5m và đo được góc nâng đến đỉnh đỉnh cây là $\alpha$. Khi người đó lùi xa thêm 10m nữa đến điểm $A^{\prime }$, góc nâng lúc này chỉ còn bằng một nửa góc nâng ban đầu $\left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (tham khảo hình vẽ). Biết giác kế được đặt trên giá đỡ cao 1,2m so với mặt đất. Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=3$, $u_2=-1$. Số hàng thứ 8 của cấp số cộng là

Để lập kế hoạch tài chính cho tháng tới, người quản lý một cửa hàng thời trang đã thống kê doanh thu bán hàng mỗi ngày (đơn vị: triệu đồng) trong suốt 30 ngày của tháng trước. Số liệu được tổng hợp như sau:

Dựa vào công thức tính một của mẫu số liệu ghép nhóm, mức doanh thu "phổ biến nhất" mà cửa hàng này đạt được là bao nhiêu?

Một đội thiện nguyện của một trường THPT gồm 6 học sinh khối 10, 7 học sinh khối 11, 8 học sinh khối 12 trong đó mỗi khối có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ đội thiện nguyện. Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ đồng thời mỗi khối có ít nhất một học sinh được chọn (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Độ sâu h (mét) của mực nước tại một cảng biển vào thời điểm t (giờ) trong một ngày được mô tả bởi công thức: $h(t)=8+4\sin \left(2t-\frac{\pi }{3}\right)$. (với $0\le t\le 24$). Thời điểm đầu tiên trong ngày (tính từ 0 giờ) mà mực nước sâu 10 mét là lúc mấy giờ?

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành (tham khảo hình vẽ). $G_1$, $G_2$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SBC$ và tam giác $BCD$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Dân số của một đô thị $A$ mới thành lập từ đầu năm 2025 được dự báo theo hàm số: $f(t)=\frac{120t+200}{t+5}$. Trong đó, $f(t)$ là số dân (đơn vị: nghìn người) và $t$ là số năm tính từ đầu năm 2025 ($t=0$ tương ứng với đầu năm 2025). Đặt $v\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t\right)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}$, $t_0\ge 0$. Khi đó ta gọi $v\left(t_0\right)$ là tốc độ tăng dân số của đô thị $A$ tại thời điểm $t_0$, đơn vị tính của $v\left(t_0\right)$ là nghìn người/năm.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).

Bạn Mạnh có 8 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 4 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý, 2 cuốn sách Hóa. Bạn Mạnh xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách trên thành một hàng ngang lên kệ sách.

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ gồm vô hạn các phần tử có $u_2=-\frac{1}{2}$, công bội $q=-\frac{1}{3}$.

Để khuyến khích tinh thần học tập, một trung tâm ngoại ngữ đã thống kê điểm số bài kiểm tra cuối khóa của 160 học viên trong bảng sau:

Trung tâm quyết định trao quà cho 25\% số học viên có điểm số cao nhất. Hỏi các học viên cần đạt ít nhất bao nhiêu điểm để nhận được quà của trung tâm? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Tại một vùng núi hiểm trở, các kỹ sư quân sự thiết lập một hệ thống liên lạc gồm 4 trạm chính đặt tại các đỉnh của một tứ diện $ABCD$. Do đặc thù địa hình, các khoảng cách đo được như sau: $AC=AD=BC=BD=2,5$ km; $AB=1,4$ km; $CD=4,8$ km. Một đội cứu hộ đang di chuyển trên con đường nối giữa hai trạm $A$ và $D$. Họ cần thiết lập một trạm tiếp sóng tạm thời tại vị trí $P$ trên đoạn thẳng $AD$. Cùng lúc đó, có hai kỹ sư khác đang ở vị trí là điểm $M$ và điểm $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. (tham khảo hình vẽ minh họa). Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài đường truyền tín hiệu từ $M$ đến $P$ và từ $N$ đến $P$ là bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).