[2, Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau] Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và $CM$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ và $CD\subset (SCD)$, $M\in SD\subset (SCD)$ nên $CM\subset (SCD)$. Do đó khoảng cách giữa $AB$ và $CM$ bằng khoảng cách từ $AB$ đến mặt phẳng $(SCD)$, tức bằng khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$.

Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$.

Mặt phẳng $(SCD)$ đi qua $D(0;a;0)$ với hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;a\sqrt{3})$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-a^2\sqrt{3};-a^2)\sim (0;\sqrt{3};1)$.

Phương trình $(SCD)$: $\sqrt{3}(y-a)+z=0$, tức $\sqrt{3}y+z-a\sqrt{3}=0$.

Khoảng cách từ $A(0;0;0)$:
$$d(A,(SCD))=\frac{|-a\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy khoảng cách giữa $AB$ và $CM$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, chọn đáp án B.