Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA=2BC$ và $\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Hình chiếu vuông góc của $A$ lên các đoạn $SB$ và $SC$ lần lượt là $M$ và $N$. Góc của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AMN)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=2a$, đường thẳng $SA$ vuông góc mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$; $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SBC)$. Giá trị của $\sin \phi$ bằng

Mô hình tứ diện $ABCD$ làm bằng khung nhôm có hai mặt $(ACD)$ và $(BCD)$ vuông góc nhau. Biết $AC=AD=BC=BD=3\text{ dm}$, cạnh $CD=a\text{ dm}$. Để cho đẹp người ta muốn hai mặt $(ABC)$ và $(ABD)$ vuông góc nhau. Hãy tính $a$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông, $AC=2\sqrt{2}a$, góc giữa hai mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Trong hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{\circ }$, tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(ABCD)$ và $(AB{C}^{\prime })$?