Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ

Xét các số thực $m\in [0;2]$, khi đó phương trình $f(x^3-2x^2+2019x)=m^2-2m+\frac{3}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Đặt $k=m^2-2m+\frac{3}{2}=(m-1{)}^2+\frac{1}{2}$. Với $m\in [0;2]$ ta có $k\in \left[\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Từ đồ thị, các điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;-2)$, nên đường thẳng $y=k$ luôn cắt đồ thị hàm số tại đúng 3 điểm phân biệt $u_1<0<u_2<2<u_3$. Mặt khác xét $u(x)=x^3-2x^2+2019x$ có đạo hàm $u^{\prime }(x)=3x^2-4x+2019>0,\forall x$, do đó $u(x)$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ với tập giá trị là $\mathbb{R}$. Do đó mỗi phương trình $u(x)=u_i$ ($i=1,2,3$) có đúng 1 nghiệm thực duy nhất. Tổng số nghiệm là $3\times 1=3$. Chọn C.