Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+x^2+3$ với $a,b\in \mathbb{R},a>0$. Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a+2b+1$?

Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình $z^2+\sqrt{3}z+a^2-2a=0$ có nghiệm phức $z_0$ thỏa $|z_0|=\sqrt{3}$?

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-15<0\\ (m+1)x\ge 3\end{array}$. Để hệ có nghiệm thì điều kiện của $m$ là

Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2-(m-2)x+m^2-4m=0$ có hai nghiệm trái dấu.

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-(a-3)z+a^2+a=0$ ($a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$?

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2  2mz  m  12  0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z1  z2  2 z1  z2 ?

Bộ phận nghiên cứu thị trường của một công ty xác định tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm (với $x$ là số nguyên dương) mỗi tháng là $x^2+180x+140000$ (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là $1200$ nghìn đồng. Để trong một tháng được có lời, công ty cần sản xuất và bán hết tối thiểu bao nhiêu sản phẩm?