Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-(a-3)z+a^2+a=0$ ($a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|$?

**Chọn A**

Ta có $\Delta =(a-3{)}^2-4(a^2+a)=-3a^2-10a+9$.
- Trường hợp 1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm thực $z_{1,2}=\frac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |a-3|=\sqrt{\Delta }\iff (a-3{)}^2=\Delta \iff 4a^2+4a=0\iff [<table><tbody><tr><td>a=0</td></tr><tr><td>a=-1</td></tr></tbody></table>$ (đều thỏa mãn $\Delta \ge 0$).
- Trường hợp 2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=\frac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |a-3|=\sqrt{-\Delta }\iff (a-3{)}^2=-\Delta \iff a^2-6a+9=3a^2+10a-9\iff 2a^2+16a-18=0\iff [<table><tbody><tr><td>a=1</td></tr><tr><td>a=-9</td></tr></tbody></table>$ (đều thỏa mãn $\Delta <0$).
Vậy có tất cả $4$ giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.