Cho khối bát diện đều có cạnh $a$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,SBC,SCD,SDA$; gọi $M^{\prime },N^{\prime },P^{\prime },Q^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $S^{\prime }AB,S^{\prime }BC,S^{\prime }CD,S^{\prime }DA$ (như hình vẽ dưới). Thể tích của khối lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ là

**Chọn D**

Gọi $O=AC\cap BD$; $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$.
Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SBC$ nên $\frac{SM}{SI}=\frac{SN}{SJ}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN=\frac{2}{3}IJ=\frac{2}{3}\cdot \frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Do tính đối xứng của khối bát diện đều cạnh $a$, tất cả các cạnh của khối lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ đều bằng nhau và bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$, các mặt đều là hình vuông.
Do đó $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ là hình lập phương cạnh $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy thể tích là $V={\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^3=\frac{2a^3\sqrt{2}}{27}$.