Mô hình tứ diện $ABCD$ làm bằng khung nhôm có hai mặt $(ACD)$ và $(BCD)$ vuông góc nhau. Biết $AC=AD=BC=BD=3\text{ dm}$, cạnh $CD=a\text{ dm}$. Để cho đẹp người ta muốn hai mặt $(ABC)$ và $(ABD)$ vuông góc nhau. Hãy tính $a$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì tam giác $ACD$ và $BCD$ đều cân tại $A$ và $B$ nên $AM\perp CD$ và $BM\perp CD$.
Do $(ACD)\perp (BCD)$ và giao tuyến là $CD$ nên $AM\perp (BCD)\Rightarrow AM\perp BM$.
Ta có $A{M}^2=A{C}^2-M{C}^2=9-\frac{a^2}{4}$ và $B{M}^2=B{C}^2-M{C}^2=9-\frac{a^2}{4}$.
Suy ra $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2=18-\frac{a^2}{2}$ (1).
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Do $CA=CB$ và $DA=DB$ nên tam giác $CAB$ và $DAB$ cân tại $C$ và $D$, suy ra $CN\perp AB$ và $DN\perp AB$.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$ là $\widehat{CND}$.
Để $(ABC)\perp (ABD)$ thì $\widehat{CND}=90^{\circ }\iff C{D}^2=N{C}^2+N{D}^2=2N{C}^2$ (do $NC=ND$).
Trong tam giác vuông $ANC$: $N{C}^2=A{C}^2-A{N}^2=9-\frac{A{B}^2}{4}$.
Do đó $a^2=2\left(9-\frac{A{B}^2}{4}\right)=18-\frac{A{B}^2}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $a^2=18-\frac{18-\frac{a^2}{2}}{2}=9+\frac{a^2}{4}\Rightarrow \frac{3a^2}{4}=9\Rightarrow a^2=12\Rightarrow a=\sqrt{12}\approx 3,46\text{ dm}$.