Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a. Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC).
b. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHM).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(2a;0;0)$, $C(0;2a;0)$ (tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB=BC=2a$). Tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ nên đường cao $SH=a\sqrt{3}$ với $H(a;0;0)$. Vì $(SAB)\perp (ABC)$ và $SH\perp AB$ (giao tuyến) nên $SH\perp (ABC)$, do đó $S(a;0;a\sqrt{3})$. $M$ là trung điểm $AC$ nên $M(a;a;0)$.

a) Ta có $BC\perp AB$ (giả thiết) và $BC\perp SH$ (vì $SH\perp (ABC)$) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$ $\Rightarrow BC\perp SB$. Mặt khác $BC\perp BH$. Vậy $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $SB$, $BH$ cùng nằm trong $(SBC)$, suy ra $(SBC)\perp (SAB)$ tại đường thẳng $SB$. Vì $(SAB)\perp (ABC)$, giao tuyến $SB$, nên góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc giữa $(SBC)$ và $(SAB)$, chính là góc $SBH$ (hai đường thẳng $SB$, $BH$ cùng vuông góc với giao tuyến $BC$... chính xác hơn: góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SB$ và $BH$ vì $BC\perp (SAB)$).
Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ với $SH=a\sqrt{3}$, $HB=a$ nên $\tan \angle SBH=SH/HB=\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ góc bằng $60^{\circ }$.

b) Mặt phẳng $(SHM)$: $S(a;0;a\sqrt{3})$, $H(a;0;0)$, $M(a;a;0)$ đều có hoành độ $x=a$, nên $(SHM)$ là mặt phẳng $x=a$. Khoảng cách từ $C(0;2a;0)$ đến $(SHM)$ là $d=|0-a|=a$.

Vậy: a) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. b) $d(C,(SHM))=a$.