Cho hình lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a. $A{A}_1=a\sqrt{2}$.
a. Tính góc giữa CB₁ và mặt phẳng (ABC)
b. Tính góc giữa mặt phẳng đáy và mặt phẳng (A₁BC)
c. Tính thể tích khối chóp A'.BCC'B'
d. Tính khoảng cách giữa $AB$ và $B^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A_1(0;0;a\sqrt{2})$, $B_1(a;0;a\sqrt{2})$, $C_1(0;a;a\sqrt{2})$ (tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AC=AB=a$, $BC=a\sqrt{2}$).

a) Vì lăng trụ đứng nên $B_{1}B\perp (ABC)$, hình chiếu của $C{B}_1$ lên $(ABC)$ là $CB$. Góc giữa $C{B}_1$ và $(ABC)$ là $\widehat{B_{1}CB}$. Trong tam giác $B_{1}BC$ vuông tại $B$: $\tan \widehat{B_{1}CB}=\frac{B_{1}B}{BC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{B_{1}CB}=45^{\circ }$.

b) Giao tuyến của $(ABC)$ và $(A_{1}BC)$ là $BC$. Vì $AB=AC$ nên $A$ có hình chiếu $H$ lên $BC$ là trung điểm $BC$, $AH=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. Ta có $AH\perp BC$ và $A_{1}A\perp (ABC)\Rightarrow A_{1}H\perp BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là $\widehat{A_{1}HA}$. Trong tam giác $A_{1}AH$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A_{1}HA}=\frac{A_{1}A}{AH}=\frac{a\sqrt{2}}{a/\sqrt{2}}=2\Rightarrow$ góc bằng $\arctan 2\approx 63^{\circ }26^{\prime }$.

c) Khối chóp $A_1.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ có đáy $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật với $BC=a\sqrt{2}$, $B{B}_1=a\sqrt{2}$, diện tích $S=2a^2$; đường cao là khoảng cách từ $A_1$ (hoặc $A$) đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, bằng $AH=\frac{a}{\sqrt{2}}$ (do $A_{1}A\perp (ABC)$ và $AH\perp BC$). Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

d) Dùng tọa độ: đường thẳng $AB$ có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$ qua $A(0;0;0)$; đường thẳng $B^{\prime }C$ đi qua $B^{\prime }(a;0;a\sqrt{2})$ và $C(0;a;0)$ có $\vec{v}=\overrightarrow{B^{\prime }C}=(-a;a;-a\sqrt{2})\parallel (-1;1;-\sqrt{2})$. Lấy $\vec{w}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(0;\sqrt{2};1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{3}$, và $\vec{w}\cdot \vec{n}=a\sqrt{2}$. Khoảng cách $d(AB,B^{\prime }C)=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.