Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 4a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA.
a. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD)
b. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Biết góc giữa SD và (SAC) là $30^0$
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(4a;0;0)$, $C(4a;4a;0)$, $D(0;4a;0)$, $O(2a;2a;0)$, $H$ trung điểm $OA$ nên $H(a;a;0)$, $S(a;a;h)$ với $h=SH$.

**a.** Vì $ABCD$ hình vuông nên $BD\perp AC$. Lại có $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp BD$. Từ đó $BD\perp (SAC)$ ($BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SH$ trong $(SAC)$). Mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. (đpcm)

**b.** Hình chiếu của $D$ trên $(SAC)$ là $O$ (vì $DO$ nằm trên $BD\perp (SAC)$), $S\in (SAC)$ nên góc giữa $SD$ và $(SAC)$ là $\widehat{DSO}=30^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOD$ (vuông tại $O$): $DO=2a\sqrt{2}$, nên $SO=\frac{DO}{\tan 30^{\circ }}=2a\sqrt{6}$.
Mà $S{O}^2=O{H}^2+S{H}^2=2a^2+h^2=24a^2\Rightarrow h^2=22a^2\Rightarrow SH=a\sqrt{22}$.

Vì $BD\perp (SAC)$, mặt phẳng $(SBD)\perp (SAC)$ theo giao tuyến $SO$, nên hình chiếu của $C$ trên $(SBD)$ nằm trên $SO$, do đó $d(C,(SBD))=d(C,SO)$ (khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $SO$ trong mặt phẳng $(SAC)$).
Tính bằng tọa độ: $S(a;a;a\sqrt{22})$, $O(2a;2a;0)$, $C(4a;4a;0)$. Vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{SO}=(a;a;-a\sqrt{22})$, $|\vec{u}|=2a\sqrt{6}$; $\overrightarrow{SC}=(3a;3a;-a\sqrt{22})$.
$\overrightarrow{SC}\times \vec{u}=(-2a^2\sqrt{22};2a^2\sqrt{22};0)$, độ dài $4a^2\sqrt{11}$.
$$d(C,(SBD))=\frac{4a^2\sqrt{11}}{2a\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{66}}{3}.$$

**c.** Vì $AB\parallel CD$ nên $(SAB)\cap (SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$.
Vectơ pháp tuyến: mặt $(SAB)$ chứa $\overrightarrow{AB}=(4a;0;0)$, $\overrightarrow{AS}=(a;a;a\sqrt{22})$ nên $\overrightarrow{n_1}=(0;-\sqrt{22};1)$.
Mặt $(SCD)$ chứa $\overrightarrow{DC}=(4a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(a;-3a;a\sqrt{22})$ (vì $D(0;4a;0)$, $S(a;a;a\sqrt{22})$) nên $\overrightarrow{n_2}=(0;\sqrt{22};3)$.
$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|-22+3|}{\sqrt{23}\cdot \sqrt{31}}=\frac{19}{\sqrt{713}}\approx 0,7116.$$
Vậy góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$ là $\theta =\arccos \frac{19}{\sqrt{713}}\approx 44^{\circ }37^{\prime }$ (tương đương $\tan \theta =\frac{4\sqrt{22}}{19}$).