Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB=BC=2a, AD=4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H là hình chiếu của A trên SC.
a. Chứng minh tam giác SBC là tam giác vuông.
b. Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (SCD).
c. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD). Biết góc giữa SC và (SAB) là $30^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục: A(0;0;0), B(2a;0;0), C(2a;2a;0), D(0;4a;0) (AD ∥ BC, AB ⊥ AD và AB ⊥ BC). Vì (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) nên giao tuyến SA ⊥ (ABCD), suy ra SA ⊥ AB, SA ⊥ AD.
a) BC ⊥ AB (giả thiết) và BC ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB (vì SB ⊂ (SAB)). Vậy tam giác SBC vuông tại B.
b) Ta có CD ⊥ AC: thật vậy vectơ CD = (−2a; 2a), vectơ AC = (2a; 2a) nên CD·AC = −4a² + 4a² = 0. Mặt khác CD ⊥ SA (vì SA ⊥ đáy) ⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AH (vì AH ⊂ (SAC)). Kết hợp AH ⊥ SC (H là hình chiếu của A trên SC) ⇒ AH ⊥ (SCD).
c) Vì BC ⊥ (SAB) nên khoảng cách từ C đến (SAB) bằng BC = 2a. Góc giữa SC và (SAB) là 30° nên sin30° = BC/SC ⇒ SC = 2a/sin30° = 4a. Tam giác SBC vuông tại B: SB = √(SC² − BC²) = √(16a² − 4a²) = 2a√3. Tam giác SAB vuông tại A: SA = √(SB² − AB²) = √(12a² − 4a²) = 2a√2. Tọa độ S(0; 0; 2a√2). Mặt phẳng (SCD) đi qua C(2a;2a;0), D(0;4a;0), S(0;0;2a√2) có phương trình: √2x + √2y + 2z = 4a√2. Khoảng cách từ B(2a;0;0): d(B,(SCD)) = |2a√2 − 4a√2| / √(2+2+4) = 2a√2 / (2√2) = a. (Kiểm tra: d(A,(SCD)) = 4a√2/(2√2) = 2a = AH, đúng vì AH ⊥ (SCD) và AH = SA·AC/SC = (2a√2·2a√2)/4a = 2a.) Vậy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng a.