Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, Hình chiếu vuông góc của A' trên mp(ABC) là trung điểm $H$ của AB, A'H=a.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (A'HC) và (ABB'A') vuông góc.
b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$
c) Tính khoảng cách giữa AA' và BC.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Lăng trụ ABC.A'B'C' đáy tam giác đều cạnh a, H là trung điểm AB, A'H ⊥ (ABC), A'H = a.

a) Tam giác ABC đều nên đường trung tuyến CH ⊥ AB. Vì A'H ⊥ (ABC) nên A'H ⊥ AB. Từ đó AB ⊥ CH và AB ⊥ A'H ⇒ AB ⊥ (A'HC). Mà AB nằm trong (ABB'A') nên (A'HC) ⊥ (ABB'A') (đpcm).

b) Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, chiều cao $A^{\prime }H=a$.
$$V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

c) Vì AA' ∥ BB' nên d(AA', BC) = d(BB', BC) = d(B, (AA'C)) (do BB' ∥ AA' và B ∈ BC, mặt phẳng (AA'C) chứa C).

Tọa hóa: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a/2, a√3/2, 0), A'(a/2, 0, a).
$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(a/2,0,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a/2,a\sqrt{3}/2,0)$, vectơ pháp tuyến của (AA'C): $\vec{n}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{AC}=\left(-\frac{a^2\sqrt{3}}{2},\frac{a^2}{2},\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$.

$$d(B,(A{A}^{\prime }C))=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\vec{n}|}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{4}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{33}}{11}.$$

Vậy $d(A{A}^{\prime },BC)=\frac{2\sqrt{33}}{11}a\approx 1,044a$ (kiểm tra lại: $\frac{2\sqrt{33}}{11}=\frac{2\cdot 5,7446}{11}\approx 1,044$).