Cho hàm số $f(x)=2x^3+(m+1)x^2-12x+1$ ($m$ là tham số), tập hợp các giá trị $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $x-9y=0$ là

Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có điểm $A(-1;3)$ và $B(1;-1)$ là hai điểm cực trị. Tính $S=a^2+b^2+c^2+d^2$.

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}$.

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $M(0;1)$ và có một điểm cực trị là $A(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=4a+b+c$.

Câu 1. (5 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị.
2. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=25m$, chiều rộng $AD=20m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ($M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.

Ta xác định được các số $a,b,c$ để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $(1;0)$ và có điểm cực trị $(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=a^2+b^2+c^2$.

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m-1$ có điểm cực đại là $M(a;b)$ và $a+b=5$. Tìm giá trị của $m$.