Cho hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$, hai đường tiệm cận của $(C)$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ đều có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tam giác $IAB$ cân tại $I$ và có diện tích bằng $\frac{15}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=1$, đường tiệm cận ngang là $y=2$ $\Rightarrow$ giao điểm hai đường tiệm cận là $I(1;2)$.

Gọi $A\left(a;2+\frac{4}{a-1}\right),B\left(b;2+\frac{4}{b-1}\right);(a>1,b>1,a\ne b)$.
$IA=IB\iff a-1=\frac{4}{b-1}\Rightarrow AD=BE$.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ vuông góc với đường phân giác của góc $\widehat{DIE}$.
Đường phân giác của góc $\widehat{DIE}$ là $d:y=x+1$.
Đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ có phương trình là $y=-x+m$.
Xét phương trình $\frac{2x+2}{x-1}=-x+m\iff x^2+(1-m)x+2+m=0(x\ne 1)$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $a>1,b>1\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m-7>0\\ m-1>2\end{array}\iff m>7$.
Ta có $A(a;-a+m),A(b;-b+m)\Rightarrow AB=\sqrt{2}.|b-a|=\sqrt{2}.\sqrt{m^2-6m-7}$.
Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{15}{2}\iff \frac{1}{2}.\frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.AB=\frac{15}{2}\iff \frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.AB=15$.
$\frac{|3-m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}.\sqrt{m^2-6m-7}=15\iff |3-m|.\sqrt{(3-m{)}^2-16}=15$.
Giải phương trình ta được $m=8$. Phương trình đường thẳng $d$ là $y=-x+8$.