Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2. Biết $A{A}^{\prime }=6$ và góc $\widehat{BA{A}^{\prime }}=120^0$, $\widehat{A^{\prime }AD}=60^0$. Độ dài vectơ $\vec{u}=2\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(6;0;0)$ và $B(3;4;0)$. Gọi $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$, giá trị của $3a+4b-2026c$ bằng

Một tháp chiếu sáng có dạng hình chóp đều $S.ABCD$, trong đó phần đáy $ABCD$ là một hình vuông làm bằng kim loại có cạnh bằng $2m$, đỉnh tháp $S$ là vị trí gắn bóng đèn chiếu sáng chính, chiều cao của tháp là $4m$. Để điều chỉnh hướng ánh sáng, người kĩ sư đặt hai cảm biến ánh sáng tại vị trí $M$ trên đoạn $BD$ và vị trí $N$ trên đoạn $SC$ sao cho dây truyền tín hiệu nối giữa hai cảm biến tại $M$ và $N$ có độ dài ngắn nhất (độ dài dây truyền tín hiệu bằng đúng độ dài $MN$). Khoảng cách từ $S$ đến trung điểm $MN$ gần nhất với giá trị nào dưới đây

Cesium-137 (Cs-137) là một đồng vị phóng xạ của nguyên tố cesium, được tạo ra chủ yếu từ phản ứng phân hạch hạt nhân trong các nhà máy điện hạt nhân và vũ khí hạt nhân. Đây là một sản phẩm phụ có khả năng di chuyển trong môi trường do tính tan trong nước của hợp chất và dễ phát tán khi gặp nhiệt độ cao. Cs-137 được sử dụng trong y học, công nghiệp và nghiên cứu khoa học, nhưng cũng tiềm ẩn nguy cơ phóng xạ cao đối với sinh vật và con người. Một khu vực bị ô nhiễm bởi đồng vị Cs-137 có chu kì bán rã là 30 năm. Sau một thời gian, người ta đo được hàm lượng Cs-137 trong đất chỉ còn 40\% so với ban đầu. Hỏi khu vực đó đã bị ô nhiễm cách đây khoảng bao nhiêu năm (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian $t$ năm được tính bởi công thức $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, $N_0$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $T$ là chu kì bán rã.

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có mặt bên $BC{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là hình chữ nhật, $AM\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ với $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi hình chiếu vuông góc của $A$ lên $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ lần lượt là $I$, $K$. Biết $AI=2\sqrt{6}$, $AK=6$, $AM=4$, khoảng cách từ $C$ đến $B{B}^{\prime }$ là $4\sqrt{3}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(AIK)$ và $(ABC)$ là