Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là nửa lục giác đều cạnh $a$, tam giác $SAB$ cân tại $S$, tam giác $SCD$ vuông tại $C$, khoảng cách giữa $BI$ và $SA$ là $\frac{a\sqrt{39}}{10}$ với $I$ là trung điểm $AD$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
b) Tính $\cos \alpha$ với $\alpha$ là số đo của nhị diện $[S,BD,C]$.

a) Vẽ hình đúng làm ý a).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $(ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD)$.
Ta có tam giác $SAB$ cân tại $S\Rightarrow SM\perp AB\Rightarrow HM\perp AB$.
Ta có tam giác $SCD$ vuông tại $C\Rightarrow DC\perp SC,SH\perp DC\Rightarrow HC\perp DC$.
Tứ giác $ABCD$ là nửa lục giác đều cạnh $a\Rightarrow DC\perp AC\Rightarrow H\in AC$.
Tứ giác $ABCI$ là hình thoi $\Rightarrow O$ là trung điểm $IB$ với $O$ là giao điểm của $IB$ và $AC$.
Xét tam giác $IAB$ đều cạnh $a\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có $DC\perp (SAC),DC//BI\Rightarrow BI\perp (SAC)$; $OE\perp SA\Rightarrow d(SA,BI)=OE=\frac{a\sqrt{39}}{10}$.
Dựng $HF\perp SA\Rightarrow HF//OE\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{39}}{15}$.
Ta có $\frac{1}{H{F}^2}=\frac{1}{A{H}^2}+\frac{1}{S{H}^2}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{13}}{6}$; Vậy thể tích $S.ABCD$ là $V=\frac{a^3\sqrt{39}}{24}$.
b) Gọi số đo của nhị diện $[A,BD,S]$ là $\beta$, ta có $\alpha +\beta =180^0$.
Dựng $HJ\parallel AB,J\in BD\Rightarrow HJ\perp BD$; có $SH\perp BD\Rightarrow SJ\perp BD$ $\Rightarrow \widehat{SJH}$ là một góc phẳng nhị diện $[A,BD,S]$.
Ta có $BC\parallel AD$, $AD=2BC\Rightarrow JH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$.
Xét tam giác $SJH$ vuông tại H, $\cos \beta =\frac{3\sqrt{22}}{22}$.
Vậy $\cos \alpha =\cos \left(180^0-\beta \right)=-\cos \beta =-\frac{3\sqrt{22}}{22}$.