Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $2^{2n}.C_{2n}^0+2^{2n-2}.C_{2n}^2+...+2^{2n-2k}.C_{2n}^{2k}+...+C_{2n}^{2n}=3281$. Số hạng chứa $x^1$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(2x-\frac{1}{4x^2}\right)}^{n+3}$ $(x\ne 0)$ là

Cho biểu thức $f(x)=(1+x)+(1+2x{)}^2+(1+3x{)}^3+\dots +(1+nx{)}^n$ được khai triển thành $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+2C_n^2+2^2{C}_n^3+\dots +2^{n-1}{C}_n^n=3280$. Tính $S=10\sqrt{a_0+a_1+\dots +a_n}$.

Cho biểu thức: $$P(x)=1+x+2(1+x{)}^2+3(1+x{)}^3+\dots +n(1+x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$ Tính hệ số $a_7$ biết rằng $n$ là số nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$.

Cho đa thức $A(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Chứng minh $A(x)$ bất khả quy.

Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left(2+x+2x^2+x^3\right)}^5$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $T_n=2027^n-2026^n$.
a) Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ là ước của $T_n-1$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $T_n$ là ước của $m^2+4053^2$ (trong đó $4053=3\times 7\times 193$).

Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left(\frac{x}{2}+\frac{4}{x}\right)}^{18}$ với $x\ne 0$.