Giả sử đường cao tốc giới hạn hai bên bởi hai đường thẳng song song a và b cách nhau 50\,m, phía bên đường thẳng a có một khu chung cư đặt ở vị trí A và cách đường thẳng a là 1 , 5\,km, phía bên đường thẳng b có một khu chung cư đặt ở vị trí B và cách đường thẳng b là 2 , 5\,km. Người ta xây dựng một cây cầu vượt bắc qua đường cao tốc, chân cầu vượt đặt ở vị trí E a và F b sao cho EF a và độ dài đường AE+EF+FB ngắn nhất. Trên đoạn AH vuông góc với a tại H, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí M sao cho góc quan sát AME =120 0 . Trên đoạn BK vuông góc với b tại K, người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí N sao cho góc quan sát BNF =120 0 , biết HE+FK=3\,km. Tính khoảng cách AM và BN.

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: Mô hình hóa bài toán. Gọi ME = x MH = x 2 AM = 3 2 - x 2 , 0 < x 3 (đơn vị: km). Ta có AE = ( 3 2 - x 2 ) 2 + x 2 + x ( 3 2 - x 2 ) = 9 4 + 3x 2 4 . Gọi NF = y NK = y 2 NB = 5 2 - y 2 FB = 25 4 + 3y 2 4 , 0 < y 5 (đơn vị: km). Ta có AE + EF + FB = 9 4 + 3x 2 4 + 25 4 + 3y 2 4 + 1 20 . Đặt t = x 3 2 = HE, z = y 3 2 = KF t + z = 3. Xét f(t) = 9 4 + t 2 + 25 4 + (3-t) 2 + 1 20 , 0 < t < 3. Ta có f'(t) = t 9 4 + t 2 - 3-t 25 4 + (3-t) 2 . f'(t) = 0 t 9 4 + t 2 = 3-t 25 4 + (3-t) 2 9(3-t) 2 = 25t 2 t = 9 8 . Bảng biến thiên: t: 0; 9 8 ; 3. f'(t): -; 0; +. f(t): giảm đến 101 20 rồi tăng. Giá trị nhỏ nhất của quãng đường AE+EF+FB là 5 , 05\ km. Ta có AM= 12-3 3 8 0 , 85\ km,\ BN= 20-5 3 8 1 , 42\ km. Lưu ý: Nếu học sinh giải bằng tọa độ hóa hoặc sử dụng | u |+ | v | | u + v | nếu đúng, vẫn cho điểm tối đa.

Câu 18HSGChuyên đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm • Lớp 12 GTLN GTNN trên đoạn hoặc miềnVận dụng cao#Thiếu hình vẽ#flag:missing_figure

Thuộc đề: Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 2025 Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Giả sử đường cao tốc giới hạn hai bên bởi hai đường thẳng song song $a$ và $b$ cách nhau $50 m$ , phía bên đường thẳng $a$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $A$ và cách đường thẳng $a$ là $1, 5 k m$ , phía bên đường thẳng $b$ có một khu chung cư đặt ở vị trí $B$ và cách đường thẳng $b$ là $2, 5 k m$ . Người ta xây dựng một cây cầu vượt bắc qua đường cao tốc, chân cầu vượt đặt ở vị trí $E \in a$ và $F \in b$ sao cho $E F ⊥ a$ và độ dài đường $A E + E F + F B$ ngắn nhất. Trên đoạn $A H$ vuông góc với $a$ tại $H$ , người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $M$ sao cho góc quan sát $A M E = 12 0^{0}$ . Trên đoạn $B K$ vuông góc với $b$ tại $K$ , người ta cần đặt một trạm quan sát tại vị trí $N$ sao cho góc quan sát $B N F = 12 0^{0}$ , biết $H E + F K = 3 k m$ . Tính khoảng cách $A M$ và $B N$ .

Câu 17 Câu 19

Câu hỏi này trích từ đề thi chính thức:

Đề Thi Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh THPT Toán 2025 Sở GD&ĐT Quảng Ninh

20 câu hỏi•Thời gian 90 phút•Chấm điểm & giải thích chi tiết

Tải đề PDF (Có đáp án)Làm trọn bộ đề thi này

Các câu hỏi khác trong đề (20 câu)

Xem toàn bộ đề →

Câu 6:Trong một thí nghiệm kiểm tra độ chính xác của hai cảm biến nhiệt độ, bạn Nam và bạn Lan sử dụng hai cảm biến khác nhau để đo nhiệt độ của b

Xem →

Câu 7:Trong hoạt động tài chính cá nhân, đầu tư định kỳ hàng tháng vào các quỹ ETF được xem là phương pháp giúp nhà đầu tư tích lũy tài sản hiệu q

Xem →

Câu 8:Cho hàm số y = 6x - 9x 2 - x + 10 - 8 4-x có đồ thị (C), đường tiệm cận xiên của (C) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B. Diện tích tam giá

Xem →

Câu 9:Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2n .C 2n 0 + 2 2n-2 .C 2n 2 + ... + 2 2n-2k .C 2n 2k + ... + C 2n 2n = 3281. Số hạng chứa x 1 trong khai

Xem →

Câu 10:Cho a > 1, b > 0 thỏa mãn 2 a + ( b a 4 ) + a b - 5 = 0. Giá trị của a + a b bằng

Xem →

Câu 11:Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x 2 - 4x + 4 - 2x ) đồng biến trên khoảng

Xem →

Câu 12:Cho hàm số y = -4x 2 + 8x - 7 2x - 1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C), khoảng cách giữa hai điểm A, B là

Xem →

Câu 13:Một nhà máy cần sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho thị trường trong nước. Biết rằng chi phí để sản xuất x sản phẩm trong một ngày bao g

Xem →

Câu 14:Cho hàm số y= 7-4x 2x-1 có đồ thị (H), điểm M (H). Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của (H) nhỏ nhất là

Xem →

Câu 15:Cho hàm số f(x)=2x 3 +(m+1)x 2 -12x+1 (m là tham số), tập hợp các giá trị m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông g

Xem →

Câu 16:Cho hàm số y= 2x+2 x-1 có đồ thị (C), hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tại I. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B đều

Xem →

Câu 17:Một gia đình nông dân quyết định mở rộng mô hình chăn nuôi nên đã mua về 20 con thỏ con từ một trang trại giống. Gia đình có sẵn hệ thống 10

Xem →

Câu 18:Giả sử đường cao tốc giới hạn hai bên bởi hai đường thẳng song song a và b cách nhau 50\,m, phía bên đường thẳng a có một khu chung cư đặt ở

Xem →

Câu 19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, tam giác SAB cân tại S, tam giác SCD vuông tại C, khoảng cách giữa BI và SA là a 39

Xem →

Câu 20:Tìm các số thực x>0, y>1 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

Xem →

Giải tích • Lớp 12

Bài tập trắc nghiệm cùng chuyên đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm (1.094 câu)

Luyện 10 câu cùng dạng Xem trọn chuyên đề

Câu luyện thêm 1Trích từ: Đề Cuối Học Kỳ I Toán 12 THPT Mạc Đĩnh Chi 2025-2026

Một hồ bơi có hình dạng như phần tô đậm trong hình vẽ bên. Bờ cong của hồ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba.

Biết

A B = D E = 20 m, A E = 40 m, A H = 30 m, A K = 10 m

. Một vận động viên xuất phát từ một vị trí bất kỳ trên bờ cong của hồ để bơi đến bờ

A E

với vận tốc không đổi theo phương vuông góc với bờ

A E

. Trong tất cả các đường bơi này, nếu thời gian để thực hiện đường bơi ngắn nhất là 5 giây thì thời gian để thực hiện đường bơi dài nhất là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Hình từ đề gốc

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 2Trích từ: Đề Cuối Học Kỳ I Toán 12 THPT Mạc Đĩnh Chi 2025-2026

Nhà sản xuất sử dụng hết

243

(

d m^{2}

) một loại vật liệu để làm một chiếc lồng đèn có dạng hình lăng trụ tam giác đều. Các mối ghép có kích thước không đáng kể. Tính thể tích lớn nhất của chiếc lồng đèn.

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 3Trích từ: Đề Cương Ôn Tập KT Giữa Học Kỳ 1 Toán 12 THPT Quế Sơn 2025-2026 - Đề Số 1

Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 4Trích từ: Đề Cương Ôn Tập KT Giữa Học Kỳ 1 Toán 12 THPT Quế Sơn 2025-2026 - Đề Số 1

Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là

2000 c m^{3}

. Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất khi chiều cao của chiếc hộp bằng

\frac{a}{3 b}

(a, b \in N^{*})

. Tính

T = a + 2 b

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 5Trích từ: Đề Cương Ôn Tập KT Giữa Học Kỳ 1 Toán 12 THPT Quế Sơn 2025-2026 - Đề Số 2

Ông Hùng cần đóng một thùng chứa gạo có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc trưng bày gạo bán tại cửa hàng. Do các điều kiện về diện tích cửa hàng và kệ trưng bày, ông Hùng cần thùng có thể tích bằng

2 m^{3}

. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là 100 000 đồng/m

^{2}

và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 50 000 đồng/m

^{2}

. Hỏi ông Hùng cần đóng thùng chứa gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu mét để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất, biết đáy thùng là hình vuông và các mối nối không đáng kể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem trang câu hỏi →

Câu luyện thêm 6Trích từ: Đề Cương Ôn Tập KT Giữa Học Kỳ 1 Toán 12 THPT Quế Sơn 2025-2026 - Đề Số 2

Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính 8 cm. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa đó là bao nhiêu centimét vuông?

Hình từ đề gốc

Xem trang câu hỏi →

Muốn biết hiện tại bạn đạt khoảng bao nhiêu điểm ở môn này? Làm thử đề nhanh 15 phút để hệ thống chấm điểm ngay.

Làm đề nhanh 15 phút ngay