Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2. Biết $A{A}^{\prime }=6$ và góc $\widehat{BA{A}^{\prime }}=120^0$, $\widehat{A^{\prime }AD}=60^0$. Độ dài vectơ $\vec{u}=2\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA\perp (ABCD)$ và $AB=3,AD=6,SA=6$. Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $SBD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ trùng với $A$, các điểm $B,D,S$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$ và các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài bằng 1.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA\perp (ABCD)$. Cho biết $AB=2a$, $AD=3a$ và $SA=2a$. Cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng

Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(3;0;0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 5. Hỏi vị trí của điểm nào sau đây không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên?

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=2a$, $BC=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng $60^{\circ }$. Tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong trong không gian $Oxyz$, bề mặt Trái Đất có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ (1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế); vị trí $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }N,{\beta }^{\circ }E(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ có toạ độ $P(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Ứng dụng Google Maps cho phép xác định khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất khi biết vĩ độ và kinh độ của chúng. Khoảng cách giữa hai vị trí $P$ và $Q$ trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua hai điểm P, Q. Tính khoảng cách trên mặt đất giữa hồ Hoàn Kiếm (Hà Nội) ở vị trí $21^{\circ }02^{\prime }N,105^{\circ }51^{\prime }E$ và đảo Trường Sa ở vị trí $8^{\circ }39^{\prime }N,111^{\circ }56^{\prime }E$ (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

1. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=\frac{3}{2}AD$, $\widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{\circ }$, $CD=AD$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;1;0)$, $B(0;1;1)$. Đặt $P=\left|3\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}\right|$, trong đó $M(a;b;c)$ là một điểm chạy trên mặt phẳng $(Oxz)$. Tính $a+b+c$ khi $P$ đạt giá trị nhỏ nhất?