Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có điểm $A(-1;3)$ và $B(1;-1)$ là hai điểm cực trị. Tính $S=a^2+b^2+c^2+d^2$.

Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}$.

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $M(0;1)$ và có một điểm cực trị là $A(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=4a+b+c$.

Câu 1. (5 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị.
2. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=25m$, chiều rộng $AD=20m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ($M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.

Hàm số $y=x^3-6x^2+9x+2024$ có giá trị cực tiểu bằng $a$ và giá trị cực đại bằng $b$. Tính giá trị biểu thức $S=2a+b$.

Cho hàm $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:



Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại

Hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Các mệnh đề sau đúng hay sai?