Tìm tập xác định của hàm số $y=\cot \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$.

Tập xác định của hàm số $y=\frac{\sin x-1}{\tan x}$ là

Rút gọn biểu thức $A=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(2\pi -x\right)+\cos \left(3\pi +x\right)$, ta được:

Biến đổi biểu thức $B=\cos 4x-\cos 2x$ thành tích, ta được:

Cho đường tròn có bán kính 8cm. Tính độ dài cung tròn có số đo $\frac{2\pi }{9}$ của đường tròn đó.

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$. Tính $P=M-m$.

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Chọn khẳng định ĐÚNG trong các khẳng định sau:

Nghiệm của phương trình $\sin x=-1$ là

Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt{3}\tan \frac{x}{3}+3=0$.

Tìm các nghiệm của phương trình $\cos (x-30^{\circ })=-\cos 2x$. (Lưu ý: trong đề gốc, lựa chọn thứ hai và thứ ba đều được in với nhãn B, thiếu nhãn C; ở đây lựa chọn thứ ba được gán nhãn C để bản ghi hợp lệ, nội dung các lựa chọn giữ nguyên theo đề.)

Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[\pi ;2\pi ]$ của phương trình $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$.

Tìm số hạng thứ 5 của dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hàng tổng quát: $u_n=\frac{2n}{n+1}$.

Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hàng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?

Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=9$ và công sai $d=2$. Giá trị của $u_5$ bằng

Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

Cho hình tứ diện $ABCD$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng $AC$ và $BD$ là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $O$ là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ là

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó giao điểm của đường thẳng $EG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:

Cho $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, $\cos \beta =\frac{12}{13}$ và $0^{\circ }<\alpha ,\beta <90^{\circ }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hàm số $y=f(x)=2{\sin }^{2}x-5$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức căng của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Giả sử huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức: $p(t)=120+15\cos 150\pi t$, trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian $t$ tính theo đơn vị phút. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho phương trình lượng giác $2\cos x=\sqrt{3}$, khi đó:

Cho dãy số $(u_n)$, biết $\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=u_n+3\end{array}$ với $n\ge 1$. Khi đó:

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=\frac{3}{2}$, công sai $d=\frac{1}{2}$. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$, biết $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $F$ trong mặt phẳng đáy. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là một hình bình hành tâm $O$. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD$. Khi đó:

Khi xe đạp di chuyển, chọn chiều dương là chiều quay của bánh xe. Vận tốc $V$ của bánh xe quay được một góc có số đo $450\pi$ mỗi phút. Biết bán kính của bánh xe là $30\text{cm}$. Độ dài quãng đường mà xe đạp đã đi được trong 1 phút bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho các góc $\alpha$, $\beta$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha$, $\beta <\pi$, $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, $\cos \beta =-\frac{2}{3}$. Tính $\sin (\alpha +\beta )$.

Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{3}$, $\alpha \in \left(\frac{-\pi }{2};0\right)$. Tính giá trị biểu thức $A=\sin \alpha .\cos \alpha$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x-40^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $-180^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ là bao nhiêu?

Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 12 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 8 m. Đồ thị dưới đây mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước $h$ (m) theo thời gian $t$ (h) $(0\le t\le 24)$ được cho bởi công thức $h=m+a.\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với $m$, $a$ là các số thực dương cho trước. Tính giá trị $T=m+a$.

Cho bốn số thực tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 276. Tìm tích của bốn số đó.

Một ngôi nhà hình kim tự tháp (có gạch nâu ốp bên ngoài) được bao quanh bởi rất nhiều cây cối và là nơi tuyệt vời để nghỉ mát mùa hè; ngôi nhà có chiều dài, chiều rộng là $6,8m$, chiều cao là $2,72m$. Khi xây dựng ngôi nhà, người chủ đã tính toán số viên gạch nâu hình hộp chữ nhật cần ốp tường; biết hàng trên ít hơn hàng dưới 1 viên, hàng trên cùng là 1 viên, kích thước viên gạch nâu hình hộp chữ nhật là $0,2m-0,08m-1m$. Hãy dự tính số viên gạch nâu ốp tường cả bốn mặt của ngôi nhà.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$. Điểm $N$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $Q$ là giao điểm của cạnh $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tỷ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{5}$.

1) Cho $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Tính: $\sin \alpha$; $\cos 2\alpha$; $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)$, $\tan 2\alpha$, $\cos \frac{\alpha }{2}$.

2) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$. Tính $\sin 2\alpha$; $\sin 4\alpha$.

1) Chứng minh rằng:

a) $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin 2x-\cos 2x}=\cot x$

b) $\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{{\cot }^2\alpha -{\tan }^2\alpha }={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$

c) $\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{\cot \beta -\cot \alpha }=\tan \alpha \tan \beta$

d) $\frac{1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=(\sin x-\cos x{)}^2$

2) Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng $\sin (A+B+2C)=-\sin C$.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) $y=3\sin x-13$

b) $y={\sin }^{2}x+\cos x-2026$

c) $y=5-2{\sin }^{2}2x$

Giải các phương trình sau

a) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

b) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) $\cos (2x-70^{\circ })=-1$.

d) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $CD=3CE$, $F$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SF=\frac{3}{4}SD$, G là trọng tâm tam giác ACD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBE)$ và $(SAC)$.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$; $(SAB)$ và $(SCD)$.

c) Tìm điểm $K$ là giao điểm của $AF$ và (SBE). Tính tỉ số $\frac{KF}{KA}$.